Волшебная сила спирали, или Вся жизнь по спирали
Мне всегда нравились спирали! Какие-то они загадочные и таинственные! Но залезть в интернет и филосовски подойти к вопросу меня натолкнула тематическая неделя «Увлекательная геометрия». Мне уже интересно, надеюсь и Вам будет тоже!
Спиральные формы часто встречаются в природе: галактики, водовороты и смерчи, раковины моллюсков, папиллярные линии пальцев, двойная спираль молекулы ДНК.
С древнейших времен Спираль — один из самых распространенных декоративных узоров — от Европы (двойные спирали в кельтской традиции или спирали на римских капителях) до Тихого Океана (спиральная резьба маори в Новой Зеландии и татуировки островитян в Полинезии), в Египте, на Крите, в Микенах, Месопотамии, Индии, Китае, Японии, доколумбовой Америке, Европе, Скандинавии и Британии; он найден также в Океании.
Восходящая и нисходящая спирали означают увеличение и уменьшение Солнца, прибывание и убывание Луны, рождение и смерть, янь и инь, день и ночь, смена времен года. Спирали, образуемые движением воды, считались проявлениями жизни Вселенной, таким образом, спираль — это образ жизни. Спираль служила также символом дыхания.
В 1990 годах на полях, в основном Англии, начали появляться рисунки со спиралевидными линиями.Ученые до сих пор спорят, чьи это проделки — Космоса или дело рук человека . Пусть спорят. В любом случае — шедеврально!
А вот примеры интереснейших дизайнерских решений применения спирали в современной обыденной жизни:
Полка для книг и вина
Спираль может стимулировать вдохновение и духовный настрой. По этим причинам очень важно помещать рисунки, фотографии и картины, изображающие этот замечательный символ в Вашем доме или офисе.
Интересно отметить, что в кабинете каждого врача висит его медицинский диплом, на котором есть изображение спиралей, которое можно видеть на кадуцее с двумя змеями, которые переплетаются вокруг него. Этот древний символ исцеления является постоянным источником энергии в кабинете врача, и на более глубоком и едва ощутимом уровне он способствует исцелению.
Символика спирали содержится во всем, что имеет винтообразное строение: ухо, щупальца осьминога, рога животных, животные, такие как кошка и собака, которые могут выгибать спину, свернувшаяся в кольца змея, растения, которые растут по спирали: плющ, еловые шишки и нераспустившиеся листья папоротника, раковины улиток, морские раковины.
Певцам раковинка, носимая напротив центра горла, поможет полностью раскрыть свои певческие способности.
Носимая напротив солнечного сплетения, раковина поможет быть смелее в своих замыслах, усилит лидерские качества, раскрепостит Вас в общении с другими людьми.
Если укрепить раковинку напротив домика для детишек (женщинам), или напротив центра рождения идеи зачатия (предстательная железа — мужчинам) — раскроет ваши потенциалы Творцов новой жизни, поможет стать родителями, укрепит глубинные семейные связи, отношения.
Если иногда посидеть на раковинке (любого размера можете взять ее) — то Вы укрепите себя в физическом мире. Раковинка раскроет Вашу чакру корневую — конически «гудящую» энергией-вихрем, расширяющим свой «раструб» к земле. Это привнесет в Вашу жизнь уверенности, спокойствия, Вы ощутите себя хозяином своей реальности, и начнете ее осознанно творить.
Различные свойства ракушки Вы и сами можете найти, освободив Вашу мысль. Свободной мыслью, держа в руках ракушку — творенье создателя — Вы очень быстро познаете все ее качества, и примените раковинку с пользой для себя.
Раковинка, имеющая внутри живую улитку — намного эффективнее, т.к. там добавляется еще и сила Жизни. Найдите улитку или ракообразное в ракушке, Смотрите на них всеми своими чувствами, душой, разумом — освободите мысль, и предназначение их Вам станет понятным.
Лечебные свойства спирали проявляются и при лечении деток, больных ДЦП. Специальный костюм «спираль» используется для формирования правильного стереотипа движений. Путем стимуляции компенсаторных возможностей организма и активирования пластичности мозга эта система создает в организме больного ДЦП новое функциональное состояние, которое открывает возможности для быстрого моторного и психического развития ребенка. Уменьшается спастичность мышц, приобретаются новые двигательные навыки.
Изображение спирали уже очень благотворно влияет на самочувствие человека. При стрессах берите срочно листок бумаги, карандаш и начните рисовать. Сначала рисунок будет больше с острыми углами — но держите в уме цель перевести все в спираль. Причем, в спираль, направленную внутрь себя. Начните с большого круга, обведя по границам весь лист, и затем аккуратно ведите ручкой в центр листа, проводя уменьшающуюся спираль. Дойдя до центра-точки Вы ощутите вдруг, как вся Ваша встряска исчезла! Вы просто обратили ее в нуль спиралью!
Теперь только поняла, почему в моих валяных изделиях,если меня и пробивает на геометрию, то именно на спирали. Ведь они обладают лечебным и успокаивающим эффектом!!!
Заметила, что и фотографируя свои нуно-палантины, скручиваю их ввиде спиралевидной улитки. Вот это новость!
Правда на это влияет еще и отсутствие манекена , а на себе фотографировать стесняюсь (фобия новичка).
Вот она — божественная сила спирали! Остается только применять её во благо! Надеюсь, что не утомила!
И всех благодарю!
Информация взята из интернета. С уважением, Виктория.
Закон Спирали — Космические Законы Вселенной — Знание — «Сердце»
По данной ссылке Вы можете рассмотреть Закон Спирали в слайд-программе: 3_Zakon_Spirali.pdf
Вся жизнь проявляется в Спирали эволюции.
Законы спирали проявляются везде, на них основана жизнь. «Принцип жизни, бессмертный и вечный, неуклонно продолжает восходить в своем спиральном движении, поднимаясь все выше и выше по спирали, у которой нет конца, ибо этот конец уходит в беспредельность и теряется в ней».
«День или ночь; зима, весна, лето и осень; циклы Зодиака, Манвантары и Пралайи – все эти явления подчинены Закону спирали.
Спиральна и жизнь человека и все его воплощения.
Спиральна жизнь атома. Спиральна и жизнь нашей планеты. Все движения в Космосе тоже спиральны. Спиральны мысли и чувства человека.
Время тоже спирально, ибо никогда не повторяет себя, хотя и «возвращается ветер на круги своя».
Эволюция сущего тоже спиральна.
Наступающий Новый Век уже был когда-то в далеком прошлом и так же, как и теперь, возводил человечество на новую ступень Лестницы Эволюции. Но эта ступень была иная, и люди были другие, и условия жизни, и сама планета была не та. Так повторялось во времени». (Г.А.Й. 1966 г. 525)
СПИРАЛЬ ДНК, АТОМА, СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Все старое заменяется новым.
Природа не терпит пустоты, и освободившееся место тотчас же замещает другим содержанием. Обновляется все. На смену одному явлению приходит следующее, и каждое на высшем или низшем витке спирали.
«Спирали нисходящие и спирали восходящие – все в Великой Спирали Эволюции сущего». (Г.А.Й. 1956 г. 376)
«ЧЕМ ВЫШЕ КОЛЬЦА СПИРАЛИ ДРУГ ОТ ДРУГА,
ТЕМ СТРЕМИТЕЛЬНЕЕ
ИДЁТ ЭВОЛЮЦИЯ ДАННОГО ЯВЛЕНИЯ».
(Г.А.Й. 1954 г. 025)
КРУТИЗНА СПИРАЛИ МОЖЕТ ЗАВИСЕТЬ ОТ МНОГИХ УСЛОВИЙ.
В случае человеческого сознания спираль может быть крутой или пологой.
В зависимости от быстроты развития сознания дух может прийти
— к точке, намного превосходящей по высоте отправную точку,
— к точке, лишь немного повыше,
— к той же самой точке, дав уже не спираль, а круг.
А в случае регресса, или нисходящей спирали, опуститься даже и ниже, начав спираль инволюции.
Так, важно отметить то, что
ЛЮБОЕ ЯВЛЕНИЕ, ДВИГАЯСЬ ПО КРУГУ ИЛИ СПИРАЛИ,
ВСЕГДА ПРИХОДИТ К ТОЧКЕ НАЧАЛЬНОЙ, ИЛИ СЛИВАЯСЬ С НЕЙ,
ИЛИ БУДУЧИ РАСПОЛОЖЕНА НАД НЕЮ.
Эволюция явления измеряется расстоянием между исходной точкой и последующим аналогичным расположением её на спирали.
ВСЕ ВОЗВРАЩАЕТСЯ К СВОЕМУ НАЧАЛУ,
НО В ВЫСШЕЙ ПЛОСКОСТИ,
ЛИШЬ ЗАСТОЙ НЕ ДАЁТ ПОДЪЕМА ЯВЛЕНИЯ ПО СПИРАЛИ.
Практическое применение ЗАКОНА СПИРАЛИ:
«ЭТОТ ЗАКОН ПОЗВОЛЯЕТ, ЗНАЯ ЯВЛЕНИЕ,
УСМОТРЕТЬ ЕГО НОВУЮ ФАЗУ, ИДУЩУЮ НА СМЕНУ НАСТОЯЩЕЙ». (Г.А.Й. 1956 г. 376)
«ЛЮБОМУ ДЕЙСТВИЮ, ЗАВЕРШЕННОМУ И ЗАКОНЧЕННОМУ,
ДАЖЕ ПЛОХОМУ, МОЖНО ДАТЬ ПО СПИРАЛИ ЕГО ВЫСШЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ, ВЗЯВ ЕГО НА ПЛОСКОСТИ ВЫСШЕЙ».
(Г.А.Й. 1954 г. 025)
Мультфильм АНГЕЛ и ЧЕРТ
Так, любое качество, даже негативное, в спирали времени, можно преобразовать в его противоположность!
«Сознание Архата сосредоточивается в стержне спирали, и поднимается вверх, и восходит, не будучи уявляемым по внешним её кольцам (спирали), не сливаясь с ними, но лишь созерцая их фазы.
Это есть состояние сознания, выраженное формулой «Быть в мире, но не от мира».
Центральное состояние сознания позволяет видеть весь круг или все круги спирали, не отождествляя себя с одной лишь точкой на её окружности, то есть с кратким моментом настоящего, которое продвигается в будущее в данном месте и в данный момент времени.
Таким образом, сознание Архата поднимается над временем и его фазами и может видеть, и ощущать будущее как непреложность уявления новых форм жизни на высших плоскостях эволюционной спирали». (Г.А.Й. 1954 г. 025)
«ДОСТИЖЕНИЕ СТУПЕНИ СОЗНАТЕЛЬНОГО Я НЕПРЕРЫВАЕМОГО БЕССМЕРТИЯ есть высочайшая цель человека». (Г.А.Й. 1967 г. 405)
«Однако сознательное бессмертие, или бессмертие непрерываемого сознания, достигнуто ныне очень немногими.
Это наиглавнейшая цель каждого человека, понявшего, ради чего живет он на Земле, ради чего дано ему все, что он видит вокруг.
Но люди об этой задаче забыли и заняты всем чем угодно, но только не тем, ради чего воплотились в плотное тело, не тем, что является их первейшей обязанностью по отношению к своему духу.
Все обращено на внешнее, и забыт дух. И только смерть прекращает это беззаконие.
Но, отрицая действительный смысл жизни, они и в Мир Тонкий переносят свое невежество и задерживают эволюцию не только своего духа, но и всего человечества в целом, и самой планеты. Ведь и Земля утончается в своей материи и эволюционирует одновременно с населяющими ее людьми». (Г.А.Й. 1967 г. 405)
Изменения постоянны, но ничто не повторяется!
Последующий цикл вбирает в себя самое лучшее от предыдущего и движение продолжается.
Но, НИ ОДИН ЦИКЛ НЕ ПОВТОРЯЕТ ПРЕДЫДУЩИЙ!
Здесь вступает в силу
Закон Аналогии Великой Эволюционной Спирали
РЕЗЮМЕ
Закон Эволюции тесно связан с Законом спирали.
Основной принцип Закона спирали – развитие происходит спирально, проявляясь от форм низших к более совершенным формам, если это движение эволюционно, и наоборот, если оно инволюционно – оно движется по спирали вниз.
Движение во времени идет спирально.
Цикл заканчивается в той же точке, где было его начало. Важно отметить, что эта точка или сливается с начальной точкой, или, располагается над нею. Эволюция явления измеряется расстоянием между исходной точкой и последующим аналогичным расположением её на спирали.
«…Круг действия, двигаясь во времени, дает спираль, крутизна её зависит от многих условий. В случае человеческого сознания может она быть крутой или пологой. В зависимости от быстроты её развития может она привести дух к точке, намного превосходящей по высоте точку отправную, может лишь немного повыше, может привести к той же самой точке, дав уже не спираль, а круг. А в случае регресса, или нисходящей спирали, опуститься даже и ниже, начав спираль инволюции… Чем выше кольца спирали друг от друга, тем стремительнее идёт эволюция данного явления…» (Г.А.Й., 1953 г. 436. (Сент. 10).
По таким спиралям, аналогичным в своих кольцах проявлений, идёт жизнь всякой формы, которая существует под Солнцем.
«…В природе обновляется все. Великою сменой явлений можно назвать этот процесс. День новый идет на смену старому, сын – отцу, весна – зиме, смерть – жизни, один полюс явления – противоположному, и каждое на высшей или низшей шкале или спирали. Спирали нисходящие и спирали восходящие – все в Великой Спирали Эволюции сущего. Этот закон позволяет, зная явление, усмотреть его новую фазу, идущую на смену настоящей». (Г.А.Й., 1956 г. 376. (Июль 17).
Спираль жизни — AUM News
Спираль также становится одним из образов лабиринта. Двойная спираль представляет собой последовательное продолжение сигмовидной линии и наделяется сходным значением олицетворения уравновешивающих друг друга тенденций к эволюции и инволюции в процессе бытия. Спиральные формы часто встречаются в природе: галактики, водовороты и смерчи, раковины моллюсков, папиллярные линии пальцев, двойная спираль молекулы ДНК.
Принцип спирали часто встречается в природе, и этот символ получил широкое распространение еще на заре человечества. Спираль сама по себе микрокосмична, однако невооруженным глазом видно, как в спиралевидной туманности проявляет себя Космос.
Развитие всего в мире совершается по принципу спирали. Спираль – модель Вселенной и мироздания, символ развития и зарождения жизни, который мы находим всюду – от законов диалектики до структуры генов. Человек всегда пытается распознать и повторить ее формы. Цикличность и повторяемость спирали присутствуют в каждом аспекте нашей жизни.
Спираль воздействует на человеческий разум и связана с его сознанием. Понимание добра зла для нас происходит в виде представления двух неразрывно связанных противоположностей. Их взаимодействие похоже на двойную спираль, оказывающую на нас гипнотический или даже магический эффект.
Спирали – это как карта мироздания, которую можно встретить на всех ступенях мирового устройства, от миллионов звезд, образующихся в галактике, до кода ДНК, рассматриваемого в электронный микроскоп.
Простая двумерная спираль имеет несколько замечательных свойств. Она демонстрирует изменяющиеся циклы, воплощает принципы расширения и сжатия и потенциал для одновременного движения в двух направлениях, к двум ее крайностям. Плоская спираль может быть поднята со страницы через 3-е измерение, или 3-мерная спираль передвинется через 4-е и т.д.
Объемной спирали свойственна асимметрия и любой выбор направления: вдоль вертикальной оси определяется право- или левосторонний путь, выбор путешествия по или против движения Солнца. Именно это свойство указывает на тесную взаимосвязь человека с небом и считается движением от хаоса к порядку.
В научных кругах широко известны, так называемые Числа Фибоначчи и золотое число. Рядом Фибоначчи называют ряд 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 … , где каждая последующая цифра – это сумма предыдущих двух цифр.
Спираль Фибоначчи имеет начальную точку, и такая фигура может разворачиваться бесконечно долго. Ряд Фибоначчи начинается с нуля или единицы, только при этом стремится к Золотой пропорции, постоянно увеличивая точность.
В определенной точке становится уже невозможно найти разницу между двумя спиралями. Понимание этого свойства Спирали Фибоначчи является важнейшим для обозначения постоянного, неуклонного стремления к идеалу — постоянному совершенствованию.
Метафизика спирали
«Все идёт спирально – таков Закон…» Е.П. Блаватская
С незапамятных времен люди знали о спиральном развитии Вселенной и человечества. В древних индийских писаниях, Упанишадах, упоминается Вселенский Змей, накрученный на ось Земли. В древнеегипетских храмах спираль изображалась в виде кобры на шлеме фараона; в Индии жизненная энергия, кундалини, располагается в основании позвоночника в виде змеи, свернувшейся кольцами. В масонстве спиральная лестница выражает идею духовного роста.
Форма спирали в древности использовалась как символ потребности человеческой Души в освобождении. Она воплощала собой дорогу, которая, закручиваясь, устремлялась прямо к центру Божественного. Спираль также ассоциировалась у наших древних предков с Великим Колесом Жизни, символизирующим непрерывные изменения циклов, все воплощения и магическая энергия которого представлены в изображении спиралей. В традиции Каббалы, душа человека устремляется по спирали вниз по стволу Древа Жизни, чтобы физически ощутить момент своего рождения. Считалось, что в момент смерти движение было реверсивным, в то время как Душа вновь двигалась по спирали вверх.
«По спирали взлетает орёл в облака,
Развивается жизнь по спирали,
Наши судьбы свершает спираль ДНК,
Как пружина загадочной стали.
Каждый новый виток так на старый похож,
Только выше, новей, совершенней,
Наш прогресс по спирали всё рвётся вперёд:
Новый уровень, новые цели.
Наше время в пружину сжимает спираль,
Сила сжатой пружины известна.
Распрямившись, в ножи превращается сталь,
Таков опыт веков повсеместный.
По спирали взлетает орёл в облака,
Развивается мир по спирали,
Но не станет он лучше и чище, пока —
Ваши Души, пробужденными не стали».
В. Новиков
Спираль содержит в себе все известные символы. Она символизирует собой строение Вселенной (для нас — Жизни). Расширение в бесконечность. Содержит в себе весь смысл сакральной геометрии. Символизирует развитие сознания человека. И самое главное указывает — Путь. В центре спирали стоит точка – Отец, Единый.
В метафизическом плане, спираль символизирует реалии существования, различные модели бытия, воплощения Души в проявлении и ее окончательное возвращение к Центру. Её символ связан с энергией Жизни – Огня Кундалини. Спираль воплощает собой идею одухотворенности круга.
Для национального самосознания, важно понимать, что Монада (Единый — Единая групповая Жизнь), последовательно совершая так называемый, процесс «имметаллизации» – осуществляет свое спиральное «нисхождение» в самые плотные слои материи, сюда в проявление, чтобы выразить Бога на физическом плане, для конкретной миссии.
Согласно древнейшим традициям, известно, что – знак спирали был у воплощенного Божества (ещё в античной древности, Юпитера – Бога Богов изображали спираленосцем), на спине или груди (в зависимости от миссии: на груди при «восхождении», на спине при «нисхождении» в проявление – спираль уходящая от центра вниз – символ движения Жизни вниз по спирали, в воплощение – означает явление Бога на физическом плане, спираль на спине здесь, метафизически выражаясь — «Печать Бога»). Символизирует проявление Бога в материи для осуществления определенной миссии.
Интересно отметить, что существует принципиальная разница между кругом с точкой в центре, символизирующего движение, как Путь одного индивидуума (будь то человек, нация, планета…), и спирали с точкой в центре – Ход (Движение) Жизни в Целом – Единого (группы, человечества, Солнечной системы…). По сути, спираль, уходящая от центра – вниз, это символизм движения электрического огня, это Фохат – Божественная Мысль в проявлении, которую несет «Всадник на белом коне». Причем, Фохат, здесь – Огонь (белый конь), а Всадник – это Божественная Мысль (как она достигается – фундаментальная статья на сайте «Три мира – одна истина»).
Метафизически, Фохат – Слово, «которое становится плотью» — «Всадником на белом коне» с Огненным Мечом во рту. Фохат — всепроникающий формовщик атомов, который спиралевидным движением рисует эфирное огненное тело, соединяя фундаментальные двойственности в проявлении – Дух и материю, Он создается из «Головы Брахмы» и лона Матери, направляясь Божественной Мыслью. Тайна глубоко символичного числа 19 заключена в этом символе, где: 1 и есть божественная Мысль (Всадник), а 9 – Божественная Мысль (белый конь, Фохат – Огонь) и тогда имеем явление Брахмана – Единого на физическом плане. Всадник на белом коне, явит миру Новое Откровение, которое воплотится в Национальную Идею России.
Спираль Феодора — Википедия
Первый виток спирали Феодора (до треугольника с гипотенузой √17)Спираль Феодора (также называемая спиралью корня квадратного из угла, спиралью Эйнштейна или спиралью Пифагора)[1] — приближение к архимедовой спирали, состоящее из смежных прямоугольных треугольников, примыкающих друг к другу. Она названа в честь Феодора Киренского, древне-греческого ученого, известного как учитель Платона, жившего в V веке до нашей эры на территории Ливии.
Спираль начинается с равнобедренного прямоугольного треугольника, каждый катет которого имеет единичную длину. Затем добавляется ещё один прямоугольный треугольник, чей катет является гипотенузой предыдущего треугольника (с длиной √2), а другой катет имеет длину 1; длина гипотенузы второго треугольника √3. Затем процесс повторяется; n-й треугольник в последовательности представляет собой правый треугольник с катетами √n и 1 и с гипотенузой √n + 1. Например, 16-й треугольник имеет стороны размером 4 (=√16), 1 и гипотенузой √17.
Хотя все работы Феодора утеряны, Платон упомянул Феодора в своем диалоге Теэтет, который рассказывает о его работе. В частности там говорится, что Феодор доказал, что все квадратные корни неквадратных целых чисел от 3 до 17 являются иррациональными числами (Платон не приписывает Феодору доказательства иррациональности квадратного корня из 2, потому что она была хорошо известна до него). Впоследствии Теэтет Афинский классифицировал отрезки, производящие рациональные квадраты, на две категории: соизмеримые с единицей и иррациональные[2][3].
Есть разные гипотезы о том, как Феодор доказал это, и почему он остановился на √17. Одна из гипотез, принадлежащая немецкому любителю математики Андерхубу (Anderhub), заключается в том, что он это сделал с помощью спирали Феодора[4]. В этой спирали гипотенуза √17 принадлежит последнему треугольнику, который не перекрывает фигуру образуемой спиралью, что объясняет почему Феодор дошел до √17[5]. Однако это не единственное возможное объяснение этого факта[3].
Цветная удлиненная спираль Феодора с 110 треугольникамиВ 1958 году Эрих Тойфель (Erich Teuffel) доказал, что никакие две гипотенузы треугольников, из которых строится спираль, не будут лежать на одном луче. Кроме того, если стороны единичной длины продолжить до прямой, они никогда не пройдут ни через одну из других вершин спирали[6][7].
Угол[править | править код]
Треугольник или одно звено (шаг) спиралиЕсли φn{\displaystyle \varphi _{n}} — угол n-го треугольника (или спирального сегмента), то:
- tan(φn)=1n.{\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}
Таким образом, прирост угла φn{\displaystyle \varphi _{n}} следующего за n-ым треугольником есть:[1]
- φn=arctan(1n).{\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}
Сумма углов первых» k » треугольников, обозначается общим углом φ(k){\displaystyle \varphi (k)} для k— го треугольника. Она растет пропорционально квадратному корню из k, являясь ограниченной функцией с поправочным членом c2:[1]
- φ(k)=∑n=1kφn=2k+c2(k){\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}
где
- limk→∞c2(k)=−2.157782996659…{\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots }
Радиус[править | править код]
Рост радиуса спирали при некотором треугольнике с номером n равен
- Δr=n+1−n.{\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}
Спираль Феодора приближается к архимедовой спирали.[1]. Так как расстояние между двумя витками Архимедовой спирали равно постоянной пи=3,14…, то когда количество оборотов спирали Теодора стремится к бесконечности, расстояние между двумя последовательными витками стремительно приближается к π.[8] Ниже приведена таблица, показывающая приближение витков спирали к пи:
| Виток No.: | Расчетное среднее расстояние между витками | Точность среднего расстояния намотки по сравнению с π |
|---|---|---|
| 2 | 3.1592037 | 99.44255 % |
| 3 | 3.1443455 | 99.91245 % |
| 4 | 3.14428 | 99.91453 % |
| 5 | 3.142395 | 99.97447 % |
| Предел функции при n→ ∞ | → π | → 100 % |
Как показано, после только пятого витка спираль улитки расстояние с точностью 99,97 % является точным приближением к π.
В комплексной плоскости вершины спирали могут быть заданы следующим простым рекуррентным соотношением:
- z0=1{\displaystyle z_{0}=1}
- zn=(1+in)zn−1{\displaystyle z_{n}=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {n}}}\right)z_{n-1}}, для n=1,2…{\displaystyle n=1,2\dots }
где i{\displaystyle i} — мнимая единица[9].
Аналитическое продолжение спирали ТеодораЗадача о том, как интерполировать дискретные точки спирали Феодора плавной кривой была предложена и решена в (Davis 2001, pp. 37–38) по аналогии с формулой Эйлера для гамма-функции в качестве аппроксимации для факториала, Филиппом Дэвисом[en] найдена функция
- T(x)=∏k=1∞1+i/k1+i/x+k(−1<x<∞){\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}
которая в дальнейшем была изучена его учеником Джеффри Лидером[en][10] и Арье Изерлесом[en] (в приложении к (Davis 2001)). Аксиоматическая характеристика этой функции дается в (Gronau 2004), как единственная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению
- f(x)=(1+ix)⋅f(x−1),{\displaystyle f(x)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x}}}\right)\cdot f(x-1),}
с начальным условием f(0)=1,{\displaystyle f(0)=1,} и монотонна как по аргументу, так и по модулю. Там также изучаются альтернативные условия и ослабления. Альтернативное доказательство приведено в (Heuvers , Moak & Boursaw 2000). Аналитическое продолжение непрерывной функции Дэвиса для спирали Феодора, которая простирается в противоположном направлении от начала координат, дано в (Waldvogel 2009).
На рисунке узлы оригинальной (дискретной) спирали Теодора отмечены маленькими зелёными кружками. Синие круги – те, что добавились при продолжении в отрицательную (по значению параметра, он же – полярный радиус) ветвь. Пронумерованы только узлы n{\displaystyle n} с целым значением полярного радиуса rn=±|n|.{\displaystyle r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}.} Оранжевая пунктирная окружность – круг кривизны спирали в начале координат O{\displaystyle O}.
- ↑ 1 2 3 4 Hahn, Harry K., The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral, arΧiv:0712.2184
- ↑ Plato & Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, с. 86–87., <https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&printsec=titlepage>
- ↑ 1 2 Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 199. — 456 с.
- ↑ The Spiral of Theodorus and Sums of Zeta-values at the Half-integers (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 2012. — Vol. 119, iss. 9. — P. 779. — doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.779.
- ↑ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of √−1, Princeton University Press, с. 33, ISBN 0-691-02795-1, <https://books.google.com/books?id=WvcfqBgZDWQC&printsec=frontcover>
- ↑ Long, Kate A Lesson on The Root Spiral (неопр.). Дата обращения 30 апреля 2008. Архивировано 4 апреля 2013 года.
- ↑ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semesterber. 6 (1958), pp. 148—152.
- ↑ Hahn, Harry K. (2008), The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the Square Root Spiral, arΧiv:0801.4422
- ↑ Gronau, 2004.
- ↑ Leader, J.J. The Generalized Theodorus Iteration (dissertation), 1990, Brown University
- Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
- Gronau, Detlef (March 2004), The Spiral of Theodorus, The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — Т. 111 (3): 230–237, DOI 10.2307/4145130
- Heuvers, J.; Moak, D. S. & Boursaw, B (2000), The functional equation of the square root spiral, in T. M. Rassias, Functional Equations and Inequalities, с. 111–117
- Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral, <http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf>